벡터의 회전 예제

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우리가 점 (x_1, y_1)를 가지고 있다고 가정 해 봅시다. 점도 벡터 (x_1, y_1)를 정의합니다. 3차원에서, 예를 들어, 우리는 (Cayley 1846) 회전의 각도를 찾으려면, 회전축이 알려지면, 축에 수직인 벡터 v를 선택한다. 그런 다음 회전 각도는 v와 Rv. 회전 행렬 사이의 각도이며 실제 항목이 있는 사각형 행렬입니다. 보다 구체적으로, 그들은 결정자 1과 직교 행렬로 특성화 될 수있다; 즉, 정사각형 행렬 R은 RT = R−1 및 det R = 1인 경우에만 회전 행렬입니다. 결정자 +1을 가진 크기 n의 모든 직교 행렬 세트는 특수 직교 그룹 SO(n)로 알려진 그룹을 형성하며, 그 중 한 가지 예는 회전 그룹 SO(3)입니다. 결정자 +1 또는 -1을 가진 크기 n의 모든 직교 행렬 세트는 (일반) 직교 그룹 O(n)를 형성한다. n × n 행렬 M이 특이하지 않은 경우 해당 열은 선형 독립적 인 벡터입니다.

따라서 Gram-Schmidt 프로세스는 이를 정형전이 될 수 있습니다. 수치 선형 대수의 관점에서 명시, 우리는 QR 분해를 사용하여 직교 행렬, Q로 M을 변환합니다. 그러나 이 메서드는 수행하지 않는 M에 가장 가까운 Q를 선호하는 경우가 많습니다. 이를 위해, 우리가 원하는 도구는 극성 분해입니다 (팬 & 호프만 1955; 하이암 1989). 우리는 또한 디아코니스 샤샤하니 (1987)의 하위 그룹 알고리즘을 사용하여 모든 차원에서 균일 한 분포를 생성 할 수 있습니다. 이렇게 하면 다음과 같이 SO(n)의 중첩된 차원 그룹 구조를 재귀적으로 이용합니다. 균일한 각도를 생성하고 2 × 2 회전 행렬을 구성합니다. n에서 n +1로 단계별로 n-sphere Sn에 균일하게 분포된 벡터 v를 생성하고, 마지막 열(0,…,0,1)으로 다음 큰 크기에 n× n 행렬을 포함하고, 마지막 컬럼이 v가 되도록 더 큰 행렬을 회전시킴. 일부 응용 프로그램의 경우 지정된 축으로 회전을 할 수 있는 것이 좋습니다. 단위 벡터 u = (ux, uy, uz) u2x + u2y + u2z = 1을 감안할 때, 당신의 방향에서 축에 대한 θ의 각도에 의한 회전행렬은 [3] 회전은 특수 행렬 조건을 의미하는 축의 순서를 변경할 수 없기 때문에 핸드를 보존합니다. , 옵션의 큰 숫자에 대한 한 가지 이유는, 앞서 언급 한 바와 같이, 3 차원 (이상)의 회전이 통근하지 않기 때문입니다. 주어진 회전 시퀀스를 반대로 하면 다른 결과를 얻을 수 있습니다.

이는 또한 해당 각도를 추가하여 두 개의 회전을 구성할 수 없음을 의미합니다. 따라서 오일러 각도는 숫자의 삼중항으로 외관의 유사성에도 불구하고, 벡터가 아니다. 기하학적 회전은 선을 선으로 변환하고 점 사이의 거리 비율을 유지합니다. 이러한 속성으로부터 회전은 벡터의 선형 변형이며, 따라서 매트릭스 형태, Qp로 기록될 수 있음을 보여줄 수 있다. 회전이 비율뿐만 아니라 거리 자체가 유지된다는 사실은 R {displaystyle R}이 대칭인 경우 작동하지 않는다는 점에 유의하십시오. 위의 R – R T {표시 스타일 R-R^{mathrm {T}}}가 0이면 모든 후속 단계가 유효하지 않습니다. 이 경우 R {displaystyle R}을 대각선으로 만들고 1의 고유 값에 해당하는 고유 벡터를 찾아야 합니다. 다음은 수학에서 고정 차원의 모든 회전 행렬 (여기 주로 3)의 모든 회전 행렬의 수집의 역할에 대한 몇 가지 기본 사실을 따르십시오, 특히 회전 대칭은 모든 진정으로 기본적인 법칙의 요구 사항입니다 물리학에서 (의 가정으로 인해 공간의 등방성) 및 동일한 대칭, 존재하는 경우, 덜 근본적인 성격의 많은 문제의 단순화 속성이다.

예는 고전 역학과 양자 역학에 풍부합니다. 이 대칭과 관련된 솔루션의 일부에 대한 지식은 이러한 모든 문제에 적용되며 (자격으로) 특정 문제를 고려할 수 있으므로 복잡성이 줄어듭니다. 수학과 물리학에서 가장 좋은 예는 구형 고조파 이론입니다.